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第十二章 波恩的白板与志村簇猜想（第1页）

2036年4月，德国波恩，马克斯·普朗克数学研究所。

春日的莱茵河谷，空气中弥漫着的泥土气息和新芽的芬芳。波恩这座古老而宁静的大学城，以其深厚的文化底蕴和顶尖的研究机构吸引着全球的学者。在城南的马克斯·普朗克数学研究所（MPI-MiS），一座现代感十足的玻璃与混凝土建筑内，时间仿佛以一种与外界不同的、更为深邃的节奏流淌。这里是纯粹数学思想碰撞的圣殿，远离尘嚣，只有纸张的窸窣、粉笔划过黑板的沙沙，以及思维无声奔涌的轰鸣。

三楼东侧尽头的一间办公室，门牌上简单地写着“P。Keller，S。Mehta”。办公室不算宽敞，但采光极好。高大的窗户上挂着可以调节的百叶窗，此刻，午后的阳光被调成细密的光栅，斜斜地投射进来，在靠窗的那面巨大磁性白板上切割出明暗相间的、如同钢琴琴键般的斑驳光影。白板上，早己不是一片空白，而是被密密麻麻的符号、公式、示意图和箭头彻底覆盖，宛如一幅描绘着某个神秘宇宙的地图。空气中混合着旧书、咖啡、以及白板笔特有的、略带化学气味的气息。

白板前，站着一个年轻人。他看起来约莫二十六七岁，身材瘦削但挺拔，有着健康的小麦色皮肤，那是长期在户外活动（也可能是遗传）的痕迹。一头浓密的黑色卷发显然未经精心打理，有几绺不羁地搭在宽阔的额前。他穿着一件略显宽大的红黑格子法兰绒衬衫，袖子随意地挽到手肘，下摆一侧还沾着一小块己经干涸的、棕褐色的咖啡渍。他赤着脚踩在微凉的木地板上，左手端着一个几乎见底、杯沿沾着白色奶沫的马克杯，右手则握着一支红色的白板笔，笔尖悬停在白板中央一片复杂的公式上空，仿佛一只准备啄食的、专注的鸟儿。

他是普拉提·凯勒，法国-越南混血，马克斯·普朗克研究所的博士后研究员。认识他的人都称他为“数据狂人”或“模式猎犬”，他自己则更喜欢“模式信徒”这个略带自嘲的称谓。他曾对朋友解释：“我不相信纯粹的、脱离观察的抽象思辨。真理从不藏在那些悬在半空、自我指涉的推导里。它就藏在现实——无论是物理现实还是数学现实——中那些重复出现的、有规律的、顽固的模式里。你不需要发明它，你只需要有足够的耐心、足够敏锐的眼睛，以及……足够强大的计算能力，去发现它，去把它从混沌的背景噪音中剥离出来，让它自己说话。”

此刻，他那双深褐色的、时常带着一种近乎孩童般好奇光芒的眼睛，正死死地、痴迷地锁定在白板的正中央。那里，用红色马克笔以加粗的字体，写着一个命题。这不是一个简单的等式，而是一个结构复杂、含义深邃的数学猜想陈述，像一道用未知语言镌刻的、等待被终极破解的古老谜题，静静盘踞在白板世界的中心，散发着令人敬畏又无比的光芒：

设Sh_G是与一个连通约化代数群G相关的志村簇（Shimuravariety），定义在有理数域mathbb{Q}上。设p是一个不整除G的导子、且志村簇在此处有良好约化模型的“好”素数。记Sh_G（mathbb{F}_{p^r}）为该志村簇在有限域mathbb{F}_{p^r}（p^r个元素的域）上的有理点集合。

猜想：存在一个由朗兰兹纲领（Langlandsprogram）自然预测的公式，精确地给出

#Sh_G（mathbb{F}_{p^r}）=sum_{（M，phi）}c（M，phi）cdottext{Trace}（text{Frob}_{p^r}midH_phi）

其中求和跑遍所有相关的“朗兰兹数据”对（M，phi），c（M，phi）是某些与几何和表示论相关的、具体的局部系数（可能是整数或有理数），H_phi是某个与phi相关的（可能带权的）ell-进上同调空间，而text{Frob}_{p^r}是几何弗罗贝尼乌斯自同构在其上的作用。

普拉提的目光，如同最精密的扫描仪，在这几行公式上反复逡巡。每一个符号，他都烂熟于心，但每一次凝视，都仿佛能从中挖掘出新的含义，感受到其背后那个宏大、精妙、令人战栗的数学宇宙。

志村簇（Shimuravariety）。这不是普通的几何对象。它们是定义在数域（如有理数域mathbb{Q}）上的、具有丰富算术结构的高维代数簇。它们的诞生，源于志村五郎（GoroShimura）和谷山丰（YutakaTaniyama）等人将模形式与椭圆曲线联系起来的深刻工作，后来被朗兰兹（RobertLanglands）纳入其宏伟的“朗兰兹纲领”框架，成为连接数论（伽罗瓦表示）、自守形式（及其表示论）、与代数几何的核心桥梁。一个志村簇，就像一个精密的数学仪器，其几何性质（如上同调群、点计数）编码了深刻的算术与表示论信息。